Teoría de Conjuntos
Conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto
Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para denotar Conjuntos
Y para denotar a los elementos se utilizan letras minúsculas a,b,c,…, números, símbolos o variables.
IMPLÍCITAMENTE
Un Conjunto puede ser definido:
EXPLICITAMENTE escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma
1.- Sea A el conjunto de las vocales
A= { a, e, i, o, u }
2.- Sea B el conjunto de los días de la semana
B= { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}
IMPLÍCITAMENTE escribiendo dentro de las llaves las características de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue
Sea A es el conjunto de las vocales
Se escribe A= {x/x es una vocal}
Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal
Sea D el conjunto de los días de la semana
Se escribe D= {x/x es un día de la semana }
Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es un dia de la semana
Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de su lista de elementos.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Se representa de la siguiente manera
Elemento є conjunto …….. Se lee elemento pertenece a conjunto
Elemento conjunto ……. Se lee elemento NO pertenece a conjunto
Ejemplos:
a є A Se lee …… a Pertenece al conjunto A
w є A Se lee …… w No pertenece al conjunto A
3 D Se lee …… 3 No pertenece al conjunto D
Podemos decir que un conjunto esta bien definido si podemos afirmar de manera inequívoca si un elemento pertenece a él o no
CONJUNTO BIEN DEFINIDO
- Sea T el conjunto de las personas simpáticas
Este conjunto no esta bien definido ya que la idea de ser simpático es
subjetiva, No hay un criterio definido para decir que una persona es
simpática o no
- Un conjunto es FINITO cuando podemos listar todos sus elementos
- Un conjunto es INFINITO si no podemos listar todos sus elementos
RELACIONES DE IGUALDAD DE CONJUNTO
Relaciones Entre Conjuntos
Igualdad de Conjuntos
Sub Conjuntos
Conjuntos Especiales
Conjunto Vacio
Conjunto Universal
IGUALDAD DE CONJUNTOS
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B
A= { x, y } B= { y, x }
Esto es:
A=B,
entonces x є A, implica que x є B y
Que y є B, implica que y є A.
Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………
Si
M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y
L= {9, 7, 5, 3, 1}
Esto significa que
M=L
SUBCONJUNTO
Si cada elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B,
entonces A se llama Subconjunto de B
También decimos que A, esta contenido en B
O que B, esta contenido en A
A no es un subconjunto de B,
es decir si por lo menos un elemento de A no pertenece a B
Ejemplo:
SUBCONJUNTO
Considere los siguientes conjuntos:
A={ 1, 3, 4, 5, 8, 9 } B={ 1, 2, 3, 5, 7 } C={ 1, 5 }
Podemos decir que:
C subconjunto de A y
C subconjunto de B,
Ya que 1 y 5 los, elementos de C, también son elementos de A y B
B no es subconjunto de AYa que algunos de sus elementos como el 2 y 7 no pertenecen a A
o se que no todos lo elementos de B son elementos de A
CONJUNTO VACIO (Conjuntos Especiales)
Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .
Ejemplo de conjunto Vacio:
El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.
Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .
Ejemplo de conjunto Vacio:
El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.
CONJUNTO UNIVERSAL (Conjuntos Especiales)
Cuando se habla o se piensa acerca de los conjuntos es conveniente saber que los miembros de un conjunto dado pertenece a alguna población determinada.
Si se habla de un conjunto de números es útil establecer una población general de números denominado CONJUNTOUNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA
Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusión determinada.
El conjunto Universal se denomina : U
Ejemplo
Si U=N, el conjunto de los números naturales
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }
B={ x/x es un numero primo }
C = { x/x es un numero natural par }
A, B y C son subconjuntos propios de U
Los números primos menores que cien son los siguientes:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97
DIAGRAMA DE VENN (Euler)
Los Diagramas de Venn e Euler son una manera esquemática de representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.
Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.
El Rectángulo representa conjunto Universal
Los círculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.
OPERACIONES CON CONJUNTOS
Operaciones con Conjuntos
Unión
Intersección
Diferencia
Diferencia Simétrica
Complemento
UNION DE CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unión B, es el nuevo Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos
En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B
Ejemplo
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }
Entonces:
A U B ={ a, b, c, d, e, f}
INTERSECCION DE CONJUNTOS
La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A ∩ B, que se lee A intersección B.
Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos
En este diagrama de Venn la región sombreada corresponde al conjunto A ∩B
A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y B
A ∩ B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }
A ∩ B = { c, d }
Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B
Dos conjuntos que no tienen nada en común se llaman DISYUNTOS
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B
Ejemplo 1:
Si A={ a, b, c } B= { c, d}
A-B={ a, b }
Ejemplo 2:
Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}
Ejemplo 3:
Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS
La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos
Ejemplo:
A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 }
A diferencia simétrica B = { 1, 2, 3, 5 }
A la unión se le quita la intersección
COMPLEMENTOS DE UN CONJUNTOS
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A
Simbólicamente:
A΄= U – A
